Question

两道数学竞赛题

1.在锐角三角形ABC中，中线BM与高CF相等，且角CBM=角ACF，求证三角形ABC是一个正三角形

2.设P是正三角形ABC所在平面上的任意一点，求证：PA=<PB+PC;等式何时成立？

详细步骤，谢
O点是什么？
这个证明貌似有漏洞啊~

Answer 1

1 如果BM与AC垂直，则容易验证，此时ABC是正三角形。下面证明情况确实如此。用反证法，假设BM与AC不垂直。过A作BC的平行线l，过M作BM的垂线，交l于P，交BC所在直线于Q。

显然，BMP与BMQ全等。另一方面，不难验证，BMQ与ACF全等。于是BMP与ACF全等，从而角BPM=角BAM，进而A、B、M、P四点共圆。于是角PAB=角PMB是直角。但是角PAB=角ABC，与锐角假设矛盾。

2 托勒密不等式：PA*BC <= PB*AC + PC*AB，等号成立当且仅当A、B、C、P四点共圆。（现在ABC是正三角形，消去三边即得所求）

Answer 2

1.因为CF⊥AB

所以∠CFB=∠CFA=90°

因为∠FOB=∠MOC ∠CBM=∠ACF

所以∠BMC=∠BFC=90°

然后即可证明三角形是等边三角形

(BM、CF的交点为O)

2.当PA≤BC时，PA≤PB+PC

Answer 3

Oshi dian