不等式问题。

a,b,c为正实数,a+b+c=1,求证:有没有不用展开的方法?... a,b,c为正实数,a+b+c=1,求证:
有没有不用展开的方法?
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zybtony
2010-07-30 · TA获得超过1.3万个赞
知道大有可为答主
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(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)
=(1-a)(1-b)(1-c)/abc
=(1-a-b-c+ab+bc+ac-abc)/abc
=(ab+bc+ac-abc)/abc
=(ab+bc+ac)/abc-1

因为a+b+c=1,且a+b+c大于等于3*立方根(abc),
即立方根(abc)=3.

又因为(ab+bc+ac)大于等于3*立方根(a*a*b*b*c*c),
所以,(ab+bc+ac)/abc大于等于9,
所以(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)大于等于8.
lingjianmin
2010-07-30 · TA获得超过721个赞
知道小有建树答主
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欲证 (1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8
则 1-a-b-c+ab+ac+bc≥9abc (展开)
因为a+b+c=1 所以 上式为
ab+ac+bc≥9abc
abc都为正实数 所以abc>0
化简为 1/a+1/b+1/c≥9
a+b+c≥3*3次根号下abc 所以abc《1/9
又因为1/a+1/b+1/c≥3*3次根号下(1/abc)
所以
1/a+1/b+1/c≥9 成立
所以不等式成立
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