Question

已知函数f（x）＝｜2x＋1｜－｜x－2｜ 求①求不等式 f（x）≥4的解集 ②若关于x的不等式f

已知函数f（x）＝｜2x＋1｜－｜x－2｜
求①求不等式 f（x）≥4的解集
②若关于x的不等式f已知函数f（x）＝｜2x＋1｜－｜x－2｜
求①求不等式 f（x）≥4的解集
②若关于x的不等式f（x）≤－t²＋3t在［1，3］上无解，求实数t的取值范围

Answer 1

解：1）当x>=-1/2,和x>=2时，取x>=2, f(x)=2x+1-x+2=x+3>=4, x>=1; 当x>=2时，f(x)>=4; 当x<-1/2,x<2时，取x<-1/2, f(x)=-(2x+1)+(x-2)=-x-3>=4; x<=-7,当x<=-7时，f(x)>=4; 当-1/2<=x<2时,f(x)=2x+1+x-2=3x-1>=4,x>=5/3,且x<2;f(x)>=4的解集为:(-∞,-7]和[5/3,+∞)。
2)当x>=2时,f(x)>=4; -t^+3t<=4,即t^2-3t+4=(t-3/2)^2-9/4+4=(t-3/2)^2+5/4<=0,无实数的解；当1<=x<2时，3x-1=2，3x-1=5; -t^2+3t<=2, -t^2+3t<=5 和-t^2+3t-2<=0; 即：t^2-3t+2>=0; (t-1)(t-2)>=0; 要使不等式不成立，t-1>0, t-2<0,1<t<2；或者t-1<0, t-2>0; t<1, t>2;矛盾；选择：1<t<2；对于-t^2+3t-5=-(t^2-3/2)^2-11/4<=0无实数的解。

Answer 2

f(x)＝｜2x＋1｜－｜x－2｜
①｜2x＋1｜－｜x－2｜≥4
当x≥2时，f(x)=(2x+1)-(x-2)=x+3≥4 x≥1 即x≥2时，不等式成立；
当2≥x≥-1/2时，f(x)=(2x+1)+(x-2)=3x-1≥4 x≥5/3，即2≥x≥5/3时，不等式成立；
当-1/2>x时，f(x)=-(2x+1)+(x-2)=-x-3≥4 x≤-7，即x≤-7时，不等式成立。
解集为(-∞,-7]与[5/3,+∞)的并集。
②f(x)≤－t²＋3t，即｜2x＋1｜-｜x－2｜≤－t²＋3t，在[1,3]上无解
当x∈[1,2]时，f(x)=(2x+1)-(2-x)=3x-1>-t²+3t，即：
-t²+3t+1<3x
-t²+3t+1<3 解得t∈(1,2)
当x∈[2,3]时，f(x)=(2x+1)-(x-2)=x+3≤-t²+3t无解，即：x+3>-t²+3t
x>-t²+3t-3 即-t²+3t-3<2 t²-3t+5>0 恒成立。
两部分t的交集为t∈(1,2).