Question

已知函数f(x)=loga[(1/a-2)x+1]在区间(1,3)上的函数值大于0恒成立，则a的范围？

Answer 1

这个题要分类讨论。首先看定义域，要使(1/a-2)x+1在（1,3）上恒大于0，那么分别把1和3代入都大于0即可。解得a<3/5.可以看出log函数为减函数。
当a∈（0,1/2）时，且1/a-2>0.所以(1/a-2)x+1为增函数，要使整个函数值在（1,3）上恒大于0，那么使其最小值大于0即可。f(x)取得最小值需要使（1/a-2)x+1取得最大值，即x=3。即f(3)>0.解得a>1/2.与前提矛盾，舍去；当a=1/2时，f(x)=0,不成立，舍去；当a∈（1/2,3/5）时，1/a-2<0.所以(1/a-2)x+1为减函数。这时候可知f（1）<0即可，解得a>1/2.成立。
所以该题的解为a∈（1/2,3/5）。