Question

已知函数f(x)=e^x-ax^2 (a∈R) (1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程 (

已知函数f(x)=e^x-ax^2 (a∈R) (1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程 (2)若函数f(x)为R上的单调递增函数，试求a的取值 （3）若函数f(x)不出现在直线y=x+1的下方。试求a的取值

Answer 1

f'(x)=e^x-2ax，将x=0代入f'(x)，在0点处的切线斜率有了，P（0,1）加斜率，求切线。
f(x)单增，f'(x)=e^x-2ax>0，也就是说过（0,0）点的直线y=2ax跟y=e^x相切时就是这条直线的最大斜率。设h（x）=e^x，h'(x)=e^x，在Xo处的切线为y-e^Xo=e^Xo(x-Xo)，将（0，0）点带入，得到Xo=1，也就是这条直线的最大斜率为e^1,也即0<2a<=e^1
要证g(x)=e^x-ax^2-x-1>0=g(0)。g‘(x)=e^x-2ax-1，g''(x)=e^x-2a
当g''>0，即2a<=0时，g'单增，在g’单增时→x>0→g‘>g(0)=0→g单增→g>g(0)=0

在g'单增时→x<0→g'<g(0)=0→g单减→g>g(0)=0
当g''<0，即2a<=0时，g'单减，在g’单减时→x>0→g'<g(0)=0→g单减→g<g(0)=0舍去

在g‘单减时→x<0→g’>g(0)=0→g单增→g<g(0)=0舍去