这两个不定积分怎么计算?
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不定积分计算的是原函数(得出的结果是一个式子)
定积分计算的是具体的数值(得出的借给是一个具体的数字)
不定积分是微分的逆运算
而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减
积分
积分,时一个积累起来的分数,现在网上,有很多的积分活动.象各种电子邮箱,qq等.
在微积分中
积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函袜毁数.在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的.
一个函数的不定积分(亦称原函数)指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数.
其中:[F(x) + C]' = f(x)
一个实变函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数.它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值.
定积分
我们知道,用一般方法,y=x^2不能求面积(以x轴,y=x^2,x=0,x=1为界)
定积分就是解决这一问题的.
那摸,怎摸解呢?
用定义法和 微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)
具体的,导数的几条求法都知道吧.
微积分基本定理求定积分
进行逆运算
例:求f(x)=x^2在0~1上的定积分
∫(上面1,下面0)f(x)dx=F(x)|(上面1,下面0)=(三分之一倍的x的三次方)|(上面1,下面0)≈0.3333×1-0.3333×0=0.3333(三分之一)
完了
应该比较简单
不定积分
设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,记作,即∫f(x)dx=F(x)+C.
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数郑好正,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.
由定义可知:
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质喊悔可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分.
总体来说定积分和不定积分的计算对象是不同的
所以他们才有那么大的区别
定积分计算的是具体的数值(得出的借给是一个具体的数字)
不定积分是微分的逆运算
而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减
积分
积分,时一个积累起来的分数,现在网上,有很多的积分活动.象各种电子邮箱,qq等.
在微积分中
积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函袜毁数.在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的.
一个函数的不定积分(亦称原函数)指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数.
其中:[F(x) + C]' = f(x)
一个实变函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数.它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值.
定积分
我们知道,用一般方法,y=x^2不能求面积(以x轴,y=x^2,x=0,x=1为界)
定积分就是解决这一问题的.
那摸,怎摸解呢?
用定义法和 微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)
具体的,导数的几条求法都知道吧.
微积分基本定理求定积分
进行逆运算
例:求f(x)=x^2在0~1上的定积分
∫(上面1,下面0)f(x)dx=F(x)|(上面1,下面0)=(三分之一倍的x的三次方)|(上面1,下面0)≈0.3333×1-0.3333×0=0.3333(三分之一)
完了
应该比较简单
不定积分
设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,记作,即∫f(x)dx=F(x)+C.
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数郑好正,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.
由定义可知:
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质喊悔可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分.
总体来说定积分和不定积分的计算对象是不同的
所以他们才有那么大的区别
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(1). ∫[(1+sinx)/(1+cosx)](e^x)dx
=∫{[1+2sin(x/2)cos(x/2)]/2cos²(x/2)}(e^x)dx
=(1/2)∫sec²(x/2)(e^x)dx+∫tan(x/2)(e^x)dx
=(1/2)∫sec²(x/2)(e^x)dx+∫tan(x/2)d(e^x)
=(1/2)∫sec²(x/2)(e^x)dx+(e^x)tan(x/2)-(1/2)∫(e^x)sec²(x/2)dx
=(e^x)tan(x/2)+C;
(2). ∫[1/(sin²x+2cos²x)²]dx=∫[(sin²x+cos²x)²/(sin²x+2cos²渗弊宏x)²]dx
=∫[(tan²x+1)²/(tan²x+2)]²dx=∫[sec²x(tan²x+1)/(tan²x+2)²]dx
=∫[4sec²x(tan²x+1)/4(tan²x+2)²]dx
=∫{[(tan²xsec²x-2sec²x+3sec²x(tan²x+2)]/[4(tan²x+2)²]}dx
=∫[(tan²xsec²x-2sec²x)/4(tan²x+2)²卜贺]dx+(3/4)∫[sec²x/(tan²x+2)]dx
=∫[-(tan²x+2)sec²x+2tan²xsec²x]dx/4(tan²x+2)²+(3/4)∫d(tanx)/(tan²x+2)
=-(tanx)/[4(tanx+2)]+(3/4)[1/√2)arctan(x/√2)]+C;
=-(tanx)/[4(tanx+2)]+(3/4√丛册2)arctan(x/√2)+C;
=∫{[1+2sin(x/2)cos(x/2)]/2cos²(x/2)}(e^x)dx
=(1/2)∫sec²(x/2)(e^x)dx+∫tan(x/2)(e^x)dx
=(1/2)∫sec²(x/2)(e^x)dx+∫tan(x/2)d(e^x)
=(1/2)∫sec²(x/2)(e^x)dx+(e^x)tan(x/2)-(1/2)∫(e^x)sec²(x/2)dx
=(e^x)tan(x/2)+C;
(2). ∫[1/(sin²x+2cos²x)²]dx=∫[(sin²x+cos²x)²/(sin²x+2cos²渗弊宏x)²]dx
=∫[(tan²x+1)²/(tan²x+2)]²dx=∫[sec²x(tan²x+1)/(tan²x+2)²]dx
=∫[4sec²x(tan²x+1)/4(tan²x+2)²]dx
=∫{[(tan²xsec²x-2sec²x+3sec²x(tan²x+2)]/[4(tan²x+2)²]}dx
=∫[(tan²xsec²x-2sec²x)/4(tan²x+2)²卜贺]dx+(3/4)∫[sec²x/(tan²x+2)]dx
=∫[-(tan²x+2)sec²x+2tan²xsec²x]dx/4(tan²x+2)²+(3/4)∫d(tanx)/(tan²x+2)
=-(tanx)/[4(tanx+2)]+(3/4)[1/√2)arctan(x/√2)]+C;
=-(tanx)/[4(tanx+2)]+(3/4√丛册2)arctan(x/√2)+C;
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