Question

二次函数题

已知f(x) = ax^2 + bx +c, 当-1≤x≤1时，有-1≤f(x)≤1,
求证：当-2≤x≤2时，有-7≤f(x)≤7.

Answer 1

由题意:f(1)绝对值=绝对值(a+b+c)≤1
f(0)绝对值=绝对值(c)≤1
f(-1)绝对值=绝对值(a+b+c)≤1
令f(2)=x[f(1)]+y[f(0)]+z[f(-1)]
=(x+z)a+(x-z)b+(x+y+z)c
=4a+2b+c
则:x+z=4
x-z=2
x+y+z=1
解之:x=3,y=-3,z=1
所以:绝对值f(2)=绝对值[3f(1)-3f(0)+f(-1)]
≤绝对值[3f(1)]+绝对值[3f(0)]+绝对值[f(-1)]
≤3+3+1=7