Question

空间向量在高中几何证明中的运用？

Answer 1

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。
　　如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．
　　立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。
　　以下用向量法求解的简单常识：
　　1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得
或对空间一定点O有
　　2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：
（其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面．
　　3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量
（k∈R）．
　　4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量
．
　　5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取
，求：
的问题．
　　6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：
．
　　7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．