Question

将函数f(x)=1+x²╱x展开成x的幂级数

Answer 1

问：将函数f(x)=1+x²╱x展开成x的幂级数

答：你好，将函数f(x)=1+x²╱x展开成x的幂级数的答案如下：首先，将f(x)化简为f(x) = x + x³，然后可以用泰勒公式来展开这个函数。泰勒公式如下： f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，以此类推。于是，我们需要求出f(x)在x=0处的各阶导数，即f'(x)、f''(x)、f'''(x)等等。f(x) = x + x³f'(x) = 1 + 3x²f''(x) = 6xf'''(x) = 6将以上导数代入泰勒公式中，得到展开式为：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + ... = 0 + 1·x + 0·x²/2! + 6·x³/3! + ... = x + x³/2 + x⁵/3 + x⁷/4 + ...于是，将函数f(x)=1+x²╱x展开成x的幂级数，结果为x + x³/2 + x⁵/3 + x⁷/4 + ...。