Question

关于高中向量的一个证明题~··求解！

已经O为原点，A,B,C,为平面内的三点，求证，A,B,C三点在一条直线上的充要条件是0C=αOA+βOB.且α+β=1

Answer 1

必要
共线:CA=xCB
(OA-OC)=x(OB-OC)
OC=-1/(x-1)OA+x/(x-1)OB
-1/(x-1)=α，x/(x-1)=β，得证

证明充分，只需把上述过程，翻过来写一遍

Answer 2

必要性：
若A,B,C三点共线，则AB//BC，不妨设AB=kBC，OB-0A=k(OC-OB),
OC=(1+k)/kOB-1/kOA,此时有α=-1/k,β=(1+k))/k.有α+β=1
充分性：
0C=αOA+βOB.且α+β=1 时，不妨设α不等于0.
0C=αOA+(1-α)OB
OC-OB=α(OA-OB),
即有BC=αBA，BC//BA,所以A，B，C共线。