Question

一道高中数学题(求过程)

在锐角三角形ABC中,AD,BE,CF分别是三边上的高,证明三角形ABC的垂心H是三角形DEF的内心.

Answer 1

只要证明 HD 平分 角FDE 即可。类似地可以证明 HE 平分 角FED，以及 HF 平分角DFE。
因为H是三角形ABC垂心，所以 HF 垂直 AB，HD 垂直 BC，从而 角HFB=角HDB=90度，F,H,D,B四点共圆，因此 角HDF=角HBF (1)
同理，H,E,C,D四点共圆，所以 角HDE=角HCE (2)
又因为 角BFC=角BEC=90度，B,F,E,C四点共圆，所以 角FBE=角FCE (3)
综合(1)(2)(3)三点即知 角HDF=角HDE，HD平分角FDE。因此H是三角形DEF的内心。