Question

求值域:y=(x2+5)/根号(x2+4)

请详细写出过程，谢谢！

Answer 1

设t=√(x²+4)，则t≥2
t²=x²+4
x²+5=t²+1

y=(t²+1)/t
=t+1/t
y'=1-1/t²
当t≥2时y'>0,t+1/t是增函数
所以最小值为2+1/2=5/2
值域为[5/2,+∞)

===
方法2 不求导数
y=x^2+5/√(x^2+4)
=x^2+4+1/√(x^2+4)
=√(x^2+4)+1/√(x^2+4)
因为X^2>=0
所以x^2+4>=4
根据a+1/a>=2√(a*1/a) a>0

现在 a>=4
所以当x=0 a=4时
y>=2.5

Answer 2

y=x^2+5/√(x^2+4)
=x^2+4+1/√(x^2+4)
=√(x^2+4)+1/√(x^2+4)
因为X^2>=0
所以x^2+4>=4
根据a+1/a>=2√(a*1/a) a>0

现在 a>=4
所以当x=0 a=4时
y>=2.5

Answer 3

根号下（x^2+4）的最小值是2，当x=0时y =x^2+5/根号下（x^2+4)=(x^2+5)*根号下（x^2+4)/（x^2+4)=【1+1/（x^2+4)】*根号下（x^2+4)= 根号下（x^2+4)+1/根号下（x^2+4)令t = 根号下（x^2+4) ,所以t≥2即 y =t+1/t (t≥2)很明显，在t≥2上，函数单调递增，所以t=2时，最小值为 5/2