Question

已知实数m,n满足m^2 n^2=a,x,yx满足^2 y^2=b其中a，b为常数，求mx ny最小值

已知实数m,n满足m^2+n^2=a,x,y满足x^2+y^2=b其中a，b为常数，求mx+ny最小值

Answer 1

这种题型一般都用三角函数的方法来解答,根据题意,可设
m=√asinA,n=√acosA
x=√bsinB,y=√bcosB
所以:
mx+ny=√(ab)sinAsinB+√(ab)cosAcosB=√(ab)cos(A-B)
因此mx+ny=的最大值是√(ab),即根号下ab

这里利用了(sinA)^2+(cosA)^2=1
类似的题型很多,这种方法在以后高等数学中也有广泛应用.

Answer 2

如果要快的话，利用柯西不等式
（m^2+n^2)(x^2+y^2)>=(mx+ny)^2
|mx+ny|<=√(ab)
mx+ny>=-√(ab )
即最小值是-√(ab )

上式同样可以用均值不等式得到
n^2x^2+m^2y^2>=2nxmy
两边都加上m^2x^2+n^2y^2
m^2x^2+n^2y^2+n^2x^2+m^2y^2>=m^2x^2+n^2y^2+2nxmy
即（m^2+n^2)(x^2+y^2)>=(mx+ny)^2