Question

跪求一道不等式证明题

已知abc为三角形的三条边,求证c/(a+b-c)+a/(b+c-a)+b/(c+a-b)大于等于3

Answer 1

证明：
由柯西不等式：
[c/(a+b-c)+a/(b+c-a)+b/(c+a-b)][c(a+b-c)+a(b+c-a)+b(c+a-b)]>=(a+b+c)^2
而c(a+b-c)+a(b+c-a)+b(c+a-b)=ca+bc-c^2+ab+ac-a^2+bc+ab-b^2=2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)
由均值不等式：a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
所以2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)<=ab+bc+ca
那么c/(a+b-c)+a/(b+c-a)+b/(c+a-b)>=(a+b+c)^2/[c(a+b-c)+a(b+c-a)+b(c+a-b)]>=(a+b+c)^2/(ab+bc+ca)
而a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca>=3(ab+bc+ca)
<=>(a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)
所以(a+b+c)^2/(ab+bc+ca)>=3

也即c/(a+b-c)+a/(b+c-a)+b/(c+a-b)>=3
得证。。