Question

高中立体几何题

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点。若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为（√6）/2，求二面角E-AF-C的余弦值。

Answer 1

如图；AE⊥BC（三合一），∴EA⊥PAD.作AH⊥PD. 则EH⊥PD.此时

EH与平面PAD所成角最大，设AB＝2,则AE＝√3, √3/AH＝（√6）/2. AH＝√2.

设AP＝x,看⊿PAD.AH×PD＝2x。即√2×√（x²+4）＝2x， 解得x＝2。

⊿PAC等腰直角。注意PAC⊥ABCD,作EQ⊥AC.QO⊥AF.有EQ＝√3/2.

QO＝CF-CQ/√2＝√2-1/（2√2）.tan∠QOE＝EQ/QO＝√（2/3）

cos∠QOE＝√（3/5）,  二面角E-AF-C的余弦值＝√（3/5）

[注意EQ⊥PAC.∠∠QOE为二面角E-AF-C的平面角]