Question

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=2/根号3,椭圆上各点到直线L:x-y+根号5+根号2=0的最短距离为1

求椭圆的方程

Answer 1

解 ：离心率e=c/a=√3/2（因为椭圆离心率是恒小于1的）
设a=2t，c=√3t，则b=t
设椭圆方程为x^2/a^2+y^/b^2=1,即x^2/4+y^2=k^2.......1

椭圆上各点到直线L:x-y+√5+√2=0的最短距离为1
则最近点为（x0，y0）就是切线斜率为-b^2*x0/(a^2*y0)=1
即-t^2*x0/(4t^2*y0)=1
得x0=-4y0

又点到直线距离｜x0-y0+√5+√2｜/√2=1，即｜-5y0+√5+√2｜=√2

去绝对值，得y0=√5/5，或y0=（√5+2√2）/5（不取，在相交过后了）

那x0=-4√5/5

代入1式得k^2=21/25

所以椭圆方程：x^2/4+y^2=21/25

Answer 2

（x²/4)+y²=1.