Question

两道高等数学题求解

如图。。

Answer 1

第一题很简单，每个都展开就是了，可以得到：
f(x)=x^2/2 - x^4/12 + x^6/30 - x^8/56 + x^10/90 - x^12/132;
第二题我怎么感觉不对啊，是不是漏了f'(0)=0的条件，因为
将f(1/n)在f(0)展开得到
f(1/n)=f(0)+f'(0)/n+f"(0)/2/n^2+...
带入得到所求级数
...=Sum(f'(0)(1/1+1/2+...+1/n...)+f"(0)/2(1/1+1/4+...1/n^2)+...)
显然这是个发散的级数啊，除非f'(0)，你漏了这个条件吧。
如果f'(0)=0成立的话，则可以展开两级
Abs(待求式...)<=Sum(Abs(1/2*(f"(r1)/1+f"(r2)/4+...f"(rn)/n^2+...))
<=Sum(M/2*(1/1+1/4+...+1/n^2+...)
=M/2*Pi^2/6;
(其中M=Max(Abs(f"(rn))),0<=r1,r2,...rn,<=1)
因此级数收敛