Question

数学问题（好的追加分）

已知关于x的一元二次方程2x^2+4x+k-1=0有实数根,k为正整数.
（1）求K的值
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关於x的二次函数y=2x^2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象在x轴下方的部份沿x轴翻折，图象的其余部份保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线y=1/2x+b(b<k)与此图像有两个公共点时，b的取值范围.

只讲第三问即可，详细点

Answer 1

解：

1）

设函数：f(x)=2x^2+4x+k-1

2x^2+4x+k-1=0有实数根,

函数最小值：(4ac-b^2)/(4a)=(8k-8-16)/8=k-3<=0

k<=3

,k为正整数

K=1,2,3.

2）

方程有两个非零的整数根

k=1时：

f(x)=2x^2+4x

有零根，所以，不成立。

k=2时：

f(x)=2x^2+4x+1

没有整数根。不成立

K=3时：

f(x)=2x^2+4x+2=2(x+1)^2

x1=x2=1,是方程的两个整数根。所以，k=3

图象向下平移8个单位

f2(x)=y2=2x^2+4x+2-8

=2x^2+4x-6

3)

这时有两个区间：一个是，与翻折后部分相切以上的区间，另一个是，与曲线左边根相交以下，到右边根值的区间。

设翻折后整数函数为

y3=-y2=-2x^2-4x+6

直线：y=x/2+b 代入上边函数：

4x^2+9x-12+2b=0  只有一个根

b^2-4ac=81-16(2b-12)=0

b=273/32

第一个区间：b>273/32

y2=2x^2+4x-6=0

(x+3)(x-1)=0

x1=1,x2=-3是方程两个根

直线过（1，0）时：

0=1/2+b

b=-1/2

直线过点(-3,0)时：

0=-3/2+b

b=3/2

第二个区间：-1/2<b<3/2

b<k=3

所以，b的范围：

 -1/2<b<3/2