Question

如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E.F连接EF,EF与AD交于G,AD与EF垂直吗？证明你的结论

如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E.F连接EF,EF与AD交于G,AD与EF垂直吗？证明你的结论

Answer 1

因为AD是△ABC的角平分线
所以∠BAD=∠CAD;
因为DE⊥AB,DF⊥AC
所以∠DEA=∠DFA=90°;
AD为公共边;
所以ΔADE和ΔADF全等(AAS)
所以AE=AF
ΔAEF为等腰三角形
所以AD⊥EF(等腰三角形三线共线)

Answer 2

证明：∵AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD;
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠DEA=∠DFA=90°;
AD为公共边;
∴ΔADE和ΔADF全等(AAS)
∴AE=AF
ΔAEF为等腰三角形
∴AD⊥EF(等腰三角形三线共线)

Answer 3

垂直
证明：rt三角形AED和AFD中
AD=AD
角EAD=角FAD
所以
两三角形全等
所以AE=AF
又
在三角形AEG和AFG中
角EAD=角FAD
AG=AG
所以角AGE=AGF
又角AGE+AGF=180度
所以AGE=90
所以AD垂直EF