Question

已知点P(1,4)在圆C:x^2+y^2+2ax-4y+b=0上

已知点P(1,4)在圆C:x^2+y^2+2ax-4y+b=0上，点P关于直线x+y-3=0的对称点也在圆上，求a，b

Answer 1

点P关于直线x+y-3=0对称点是（-1,2)
两点代人圆C方程得
1+16+2a-16+b=0
1+4-2a-8+b=0
解得a=-1
b=1

Answer 2

∵点P在圆上
∴把P点坐标代入：1+16+2a-16+b=0→2a+b=-1
又∵点P关于直线x+y-3=0的对称点也在圆上
∴直线x+y-3=0过圆的圆心
先把圆方程配成标准形式：（x+a）^2+(y-2)^2=……
-a+2-3=0
∴a=-1，b=1

Answer 3

设P（1,4）关于直线x+y-3=0的对称点为（x,y)
则 （y-4)÷（x-1)=1
[ (x+1）÷2 ]+[（y+4)÷2]-3=0
解得x=-1 y=2 (-1,2)
将（1,4）（-1,2）代入圆方程
得1+16+2a-16+b=0
1+4-2a-8+b=0 解得a=-1 b=1