Question

为什么说罗尔定理的推论：若函数的n阶导数不等于零，则原函数至多有n个根？

麻烦详细些，多谢！

Answer 1

罗尔定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，如果f(a)=f(b),则f'(x)至少有一个根。

特别的，如果上述f(a)=f(b)=0，也就是f(x)在[a,b]有两个根，那么f'(x)在(a,b)至少有一个根。反之，如果f'(x)在(a,b)没有根，f(x)在[a,b]就不会有多于1个的根。

简单说，导函数没有根，原函数至多有一个根。

推而广之，如果f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内n阶可导。并且f(x)在[a,b]有n+1个根:x0,x1,x2,...xn，那么根据罗尔定理，f'(x)在(x0,x1),(x1,x2),...,(xn-1,xn)内分别至少有一个根，从而在(a,b)内至少有n个根，同理f''(x)在(a,b)内至少有n-1个根，...,fk(x)（k阶导数)在(a,b)内至少有n-k+1个根，n阶导数fn(x)在(a,b)内至少有1个根。
因此，反过来，如果n阶导数没有根，f(x)就至多有n个根。