Question

已知函数f(x)=(ax-2)e^x在x=1处取得极值，求

(1)，a的值 (2)求函数f(x)在（m,m+1)上的最小值 （3）求证对任意x1x2属于（0,2）都有绝对值f(x1-Fx2)小于等于e

Answer 1

你好

（1）
已知函数f(x)=(ax-2)e^x在x=1处取得极值，则
f′(1)=0
ae^x+(ax-2)e^x=0
ae+（a-2）e=0
2ae=2e
a=1
当a=1时，f′（x）=（x-1）e^x，在x=1处取得极小值．

（2）当m＞1时，f′（x）=（x-1）e^x＞0，函数为单调增函数，因为是开区间，所以没有最小值，否则是f（m）
当m＜0时，f′（x）=（x-1）e^x＜0，函数是单调减函数，因为是开区间，所以没有最小值，否则是f（m+1）
当0≤M≤1时，x=1在（m,m+1)上，有最小值f（1）

fmin=f（1）=-e

（3）证明：由（Ⅰ）知，f（x）=（x-2）e^x，f′（x）=（x-1）e^x．
当x∈[0，1]时，f′（x）=（x-1）e^x≤0，∴f（x）在区间[0，1]单调递减；
当x∈（1，2]时，f′（x）=（x-2）e^x＞0，∴f（x）在区间（1，2]单调递增．
所以在区间[0，2]上，f（x）的最小值为f（1）=-e，又f（0）=-2，f（2）=0，
所以在区间[0，2]上，f（x）的最大值为f（2）=0．
对于x1，x2∈[0，2]，有f（x1）-f（x2）≤fmax（x）-fmin（x）．
所以f（x1）-f（x2）≤0-（-e）=e．

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Answer 2

（Ⅰ）f′（x）=
1
a
(x2+x-a)e
x
a
+（2x+1）e
x
a
=
1
a
x(x+1+2a)e
x
a
，
当a=1时，f′（x）=x（x+3）ex，
解f′（x）＞0得x＞0或x＜-3，解f′（x）＜0得-3＜x＜0，
所以f（x）的单调增区间为（-∞，-3）和（0，+∞），单调减区间为（-3，0）．
（Ⅱ）①当x=-5时，f（x）取得极值，所以f′（-5）=
1
a
(-5)(-5+1+2a)e
x
a
=0，
解得a=2（经检验a=2符合题意），
f′（x）=
1
2
x(x+5)e
x
2
，当x＜-5或x＞0时f′（x）＞0，当-5＜x＜0时f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，-5）和（0，+∞）上递增，在（-5，0）上递减，
当-5≤m≤-1时，f（x）在[m，m+1]上单调递减，fmin（x）=f（m+1）=m（m+3）e
m+1
2
，
当-1＜m＜0时，m＜0＜m+1，f（x）在[m，0]上单调递减，在[0，m+1]上单调递增，fmin（x）=f（0）=-2，
当m≥0时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，fmin（x）=f（m）=（m+2）（m-1）e
m
2
，
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值为
fmin(x)=

m(m+3)e
m+1
2
，-5≤m≤-1

-2，-1＜m＜0
(m+2)(m-1)e
m
2
，m≥0

；
②令f′（x）=0得x=0或x=-5（舍），
因为f（-2）=0，f（0）=-2，f（1）=0，所以fmax（x）=0，fmin（x）=-2，
所以对任意x1，x2∈[-2，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤fmax（x）-fmin（x）=2．

（我可是一个字一个字的敲上去的！！！）

追问

太乱了

追答

（Ⅰ）f′（x）=1 a (x2+x-a)ex a +（2x+1）ex a =1 a x(x+1+2a)ex a ，当a=1时，f′（x）=x（x+3）ex，
解f′（x）＞0得x＞0或x＜-3，解f′（x）＜0得-3＜x＜0，
所以f（x）的单调增区间为（-∞，-3）和（0，+∞），单调减区间为（-3，0）．
（Ⅱ）①当x=-5时，f（x）取得极值，所以f′（-5）=1 a (-5)(-5+1+2a)ex a =0，解得a=2（经检验a=2符合题意），f′（x）=1 2 x(x+5)ex 2
，当x＜-5或x＞0时f′（x）＞0，当-5＜x＜0时f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，-5）和（0，+∞）上递增，在（-5，0）上递减，
当-5≤m≤-1时，f（x）在[m，m+1]上单调递减，fmin（x）=f（m+1）=m（m+3）e
m+1 2 ，
当-1＜m＜0时，m＜0＜m+1，f（x）在[m，0]上单调递减，在[0，m+1]上单调递增，fmin（x）=f（0）=-2，
当m≥0时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，fmin（x）=f（m）=（m+2）（m-1）e
m
2
，
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值为
fmin(x)=m(m+3)em+1 2 ，-5≤m≤-1 -2，-1＜m＜0 (m+2)(m-1)em 2 ，m≥0

；
②令f′（x）=0得x=0或x=-5（舍），
因为f（-2）=0，f（0）=-2，f（1）=0，所以fmax（x）=0，fmin（x）=-2，
所以对任意x1，x2∈[-2，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤fmax（x）-fmin（x）=2．

（我可是一个字一个字的敲上去的！！！）