设f（x）=-x^3+ax^2+bx+c（a＞0），在x=1处取得极大值，且存在斜率为3/4的切线
设f（x）=-x^3+ax^2+bx+c（a＞0），在x=1处取得极大值，且存在斜率为3/4的切线，求a的取值范围...
设f（x）=-x^3+ax^2+bx+c（a＞0），在x=1处取得极大值，且存在斜率为3/4的切线，求a的取值范围
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解答：解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，
∴f′（1）=-3+2a+b=0，∴b=3-2a
f′（x）=-3（x-1）[x-（
2a
3
-1）]=0，解得x1=1，x2=
2a
3
-1
∵f（x）在x=1处有极大值，
则
2a
3
-1＜1，
∴a＜3
又f'（x）-
4
3
=0有实根，a≤1或a≥5，
∴0＜a≤1（4分）
（2）f（x）的单调增区间为（
2a
3
-1，1）
则|x1-x2|=2-
2a
3
∈[
4
3
，2）
[m、n]⊆[x1，x2]
∴|m-n|∈（0，2）（8分）
（3）（方法一）由于f（x）在（-∞，
2a
3
-1）上是减函数，
在（
2a
3
-1，1）上是增函数．
在（1，+∞）上是减函数，而x∈（-∞，0），
且
2a
3
-1∈（-1，
1
3
]．
f（x）在（-∞，0]上的最小值就是f（x）在R上的极小值．
f（x）min=f（
2a
3
-1）=
4
27
a3-
4
3
a2+3a-2+c≥c，
得g（a）=）=
4
27
a3-
4
3
a2+3a+1，
g′（a）=
4
9
a2-
8
3
a+3=
4
9
（x-
9
2
）（a-
9
2
），在[
1
2
，1]上单调递增．
∴g（a）min=g（
1
2
）=
1
54
-
1
3
+
3
2
-2＞0，不存在．
依上，不存在a的取值，使f（x）≥c恒成立．（14分）
（方法二）f（x）≥c 等价于-x3+ax2+bx+c≥c
即-x3+ax2+bx≥0，x∈（-∞，0]
当x=0时，不等式恒成立；
当x∈（-∞，0）时，上式等价于x2-ax-b≥0
即x2-ax-3+2a≥0，x2-3≥（x-2）a
a≥
x2−3
x−2
=x-2+
1
x−2
+4
g（x）=
1
x−2
+x-2+4在（-∞，0）上递增
所以g（x）＜-2+4=2即a＞2
∴f′（1）=-3+2a+b=0，∴b=3-2a
f′（x）=-3（x-1）[x-（
2a
3
-1）]=0，解得x1=1，x2=
2a
3
-1
∵f（x）在x=1处有极大值，
则
2a
3
-1＜1，
∴a＜3
又f'（x）-
4
3
=0有实根，a≤1或a≥5，
∴0＜a≤1（4分）
（2）f（x）的单调增区间为（
2a
3
-1，1）
则|x1-x2|=2-
2a
3
∈[
4
3
，2）
[m、n]⊆[x1，x2]
∴|m-n|∈（0，2）（8分）
（3）（方法一）由于f（x）在（-∞，
2a
3
-1）上是减函数，
在（
2a
3
-1，1）上是增函数．
在（1，+∞）上是减函数，而x∈（-∞，0），
且
2a
3
-1∈（-1，
1
3
]．
f（x）在（-∞，0]上的最小值就是f（x）在R上的极小值．
f（x）min=f（
2a
3
-1）=
4
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a3-
4
3
a2+3a-2+c≥c，
得g（a）=）=
4
27
a3-
4
3
a2+3a+1，
g′（a）=
4
9
a2-
8
3
a+3=
4
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（x-
9
2
）（a-
9
2
），在[
1
2
，1]上单调递增．
∴g（a）min=g（
1
2
）=
1
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1
3
+
3
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-2＞0，不存在．
依上，不存在a的取值，使f（x）≥c恒成立．（14分）
（方法二）f（x）≥c 等价于-x3+ax2+bx+c≥c
即-x3+ax2+bx≥0，x∈（-∞，0]
当x=0时，不等式恒成立；
当x∈（-∞，0）时，上式等价于x2-ax-b≥0
即x2-ax-3+2a≥0，x2-3≥（x-2）a
a≥
x2−3
x−2
=x-2+
1
x−2
+4
g（x）=
1
x−2
+x-2+4在（-∞，0）上递增
所以g（x）＜-2+4=2即a＞2
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解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，
∴f′（1）=-3+2a+b=0，∴b=3-2a
f′（x）=-3（x-1）[x-（
2a
3
-1）]=0，解得x1=1，x2=
2a
3
-1
∵f（x）在x=1处有极大值，
则
2a
3
-1＜1，
∴a＜3
又f'（x）-
4
3
=0有实根，a≤1或a≥5，
∴0＜a≤1（4分）
（2）f（x）的单调增区间为（
2a
3
-1，1）
则|x1-x2|=2-
2a
3
∈[
4
3
，2）
[m、n]⊆[x1，x2]
∴|m-n|∈（0，2）（8分）
（3）（方法一）由于f（x）在（-∞，
2a
3
-1）上是减函数，
在（
2a
3
-1，1）上是增函数．
在（1，+∞）上是减函数，而x∈（-∞，0），
且
2a
3
-1∈（-1，
1
3
]．
f（x）在（-∞，0]上的最小值就是f（x）在R上的极小值．
f（x）min=f（
2a
3
-1）=
4
27
a3-
4
3
a2+3a-2+c≥c，
得g（a）=）=
4
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a3-
4
3
a2+3a+1，
g′（a）=
4
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a2-
8
3
a+3=
4
9
（x-
9
2
）（a-
9
2
），在[
1
2
，1]上单调递增．
∴g（a）min=g（
1
2
）=
1
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3
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-2＞0，不存在．
依上，不存在a的取值，使f（x）≥c恒成立．（14分）
（方法二）f（x）≥c 等价于-x3+ax2+bx+c≥c
即-x3+ax2+bx≥0，x∈（-∞，0]
当x=0时，不等式恒成立；
当x∈（-∞，0）时，上式等价于x2-ax-b≥0
即x2-ax-3+2a≥0，x2-3≥（x-2）a
a≥
x2−3
x−2
=x-2+
1
x−2
+4
g（x）=
1
x−2
+x-2+4在（-∞，0）上递增
所以g（x）＜-2+4=2即a＞2
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追问
是否存在a的取值范围，使得对于任意xε（-无穷，0］，都有f（x）≥c
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抱歉哈 这道题目我真心就不会了 真心想帮你 真不好意思~
本回答被提问者采纳
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