Question

已知f（x）=sin（x+a）cosx（a为常数）的图像关于原点对称且f（π/4）=1/2

1.求f（x）的解析式
2.求f（x）的单调增区间

Answer 1

解：（1）∵f(x)图像关于原点对称
∴y=f(x)是奇函数，且f（x）=sin（x+a）cosx定义域是R
f(0)=0，即，sinacoso=0,即,sina=0,
又∵f（π/4）=1/2
∴f（x）=sin（π/4+a）cos（π/4）=1/2
即，（1/2）（sina+cosa）=（1/2）cosa=1/2
∴cosa=1，∴a=2kπ(k∈Z)
∴f(x)=sin(x+2kπ)cosx=sinxcosx=(1/2)sin2x

(2)由（1）得，f(x)令=(1/2)sin2x ,最小正周期T=π
令(-π/2)≤2x≤(π/2)，解得(-π/4)≤x≤(π/4)
∴f(x)的增区间是[-π/4+kπ, π/4+kπ] (k∈Z)

Answer 2

1.
f(-x)=-f(x)
sin(a-x)cos(-x)=-sin(a+x)cosx
cosx*[sin(a-x)-sin(a+x)]=0
cosx*cosa*sinx=0
此式对任意x成立，所以cosa=0
a=π/2 +kπ (K为整数）

f(π/4）=1/2
sin(π/4 + π/2 +kπ)cos(π/4)=1/2
cos(kπ +π/4)=(根号2)/2
所以k为偶数
方便起见，取k=0
所以：f(x)=sin(x+π/2)cosx
f(x)=(cosx)^2

2.
f(x)=(cosx)^2=(1+cos2x)/2
=(1/2)+(1/2)cos2x

单调增区间:
2kπ-π/2<=2x<=2kπ+π/2
kπ-π/4<=x<=kπ+π/4
即：[kπ-π/4,kπ+π/4], k为整数

Answer 3

利用f（-x）=-f（x） 和f（π/4）=1/2 可以确定a的值 解析式就有了。。。

解析式有了讨论下单调区间就简单啦