Question

0<a,b,c<1 求证:(1一a)b、(1一b)c,(1一c)a不能都大于1/4

Answer 1

采用反证法。
证明：
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因0<a<1,0<b<1,0<c<1
所以有
√((1-a)b)>1/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2
则
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)
而由基本不等式：a,b∈R+, a+b≥2√(ab), 有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
所以
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2

这与已知的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)矛盾

所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4 ,即不同时大于四分之一
证毕。