已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中a,b∈R.(1)当a=-103时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若

已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中a,b∈R.(1)当a=-103时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)仅在x=0处有极值,求a的取值... 已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中a,b∈R.(1)当a=-103时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)仅在x=0处有极值,求a的取值范围. 展开
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2015-01-05 · 超过71用户采纳过TA的回答
知道答主
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(1)f′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).
当a=-
10
3
时,f′(x)=x(4x2-10x+4)=2x(2x-1)(x-2).
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=
1
2
,x3=2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)在(0,
1
2
),(2,+∞)内是增函数,在(-∞,0),(
1
2
,2)内是减函数.

(2)f′(x)=x(4x2+3ax+4),显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根.
为使f(x)仅在x=0处有极值,必须4x2+3ax+4≥0成立,即有△=9a2-64≤0.
解此不等式,得-
8
3
≤a≤
8
3

这时,f(0)=b是唯一极值.
因此满足条件的a的取值范围是[-
8
3
8
3
].
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