Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD、CE分别交BC和AB于点D、E，AD与CE相交于点F，求证：

如图，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD、CE分别交BC和AB于点D、E，AD与CE相交于点F，求证：FE=FD．

Answer 1

证明：∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别平分∠BAC与∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=

1

2

（∠BAC+∠BCA）=

1

2

×120°=60°，
∴∠AFE=60°，∠AFC=120°，
如图，在AC上截取AG=AE，
则在△AEF和△AGF中，

AE＝AG ∠EAF＝∠CAF AF＝AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFG=∠AFE=60°，FE=FG，
∴∠CFG=∠CFD=60°，
在△CDF和△CGF中，

∠CFG＝∠CFD CF＝CF ∠ACE＝∠BCE

，
∴△CDF≌△CGF（ASA），
∴FD=FG，
∴FE=FD．