Question

在如图所示的平面直角坐标系中，点C在y轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，OA=2，∠AOC=60°，以OA为

在如图所示的平面直角坐标系中，点C在y轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，OA=2，∠AOC=60°，以OA为直径的⊙P经过点C，交BC于点D，DE⊥AB，交AB于E．（1）求点A和B的坐标；（2）求证：DE是⊙P的切线；（3）小明在解答本题时，发现连结DA并延长，交x轴于点N，则△AON是等腰三角形．由此，他断定：“x轴上一定存在除点N以外的点Q，使△AOQ也是等腰三角形，且点Q一定在⊙P外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．

Answer 1

（1）解：连结AC，
∵OA为⊙P的直径，∴∠ACO=90°，
又∵OA=2，∠AOC=60°，∴OC=1，AC=

3

，
∴A点坐标为（

3

，1），
∵OABC为平行四边形，
∴AB=OC，∴B点坐标为（

3

，2）．

（2）证明：连结PD、AD，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴CD∥OA，
∴弧OC=弧AD，∴OC=AD，
∴四边形OADC为等腰梯形，
∴∠DAO=∠AOC=60°，
∵PA=PD，
∴△PAD为等边三角形，
∴∠PDA=60°，
∵∠BAO=180°-60°=120°，∠DAO=60°，
∴∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠PDA，∴PD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥PD，
∴DE是⊙P的切线．

（3）解：不同意．
理由如下：
①当OA=OQ时，
以点O为圆心，OA为半径画弧交x轴于Q₁和Q₃两点，
得点Q₁（-2，0），Q₃（2，0）
②当OQ=AQ时，作OA的中垂线，交x轴于点Q₂，
OQ₂=

OP

cos30°

＝

2 3

3

＜

3

，点Q₂（

2 3

3

，0）．
因此，在x轴上，除了N点外，既存在⊙P内的点Q₂，
又存在⊙P外的点Q₁、Q₃，它们分别使△AOQ为等腰三角形．