Question

（2012?杨浦区二模）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半

（2012?杨浦区二模）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则S四边形ADCE：S正方形ABCD的值为______．

Answer 1

过E作EF⊥AD，交AD于点F，如图所示：
可得∠EFA=90°，
设EC=x，AB=y，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=BC=CD=y，∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴DFEC为矩形，
∴EF=DC=y，AF=AD-DF=AD-CE=y-x，
∵圆E与圆A外切，
∴AE=x+y，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE²=EF²+AF²，
即（x+y）²=y²+（y-x）²，
整理得：y=4x，即x=

1

4

y，
∴S_梯形ADCE=

1

2

（EC+AD）?CD=

1

2

y（x+y）=

5

8

y²，S_{正方形ABCD}=y²，
则S_{四边形ADCE}：S_{正方形ABCD}=

5

8

y²：y²=

5

8

．
故答案为：

5

8

．