Question

如图，已知AM是△ABC的BC边上的中线，证明：AB2+AC2=2（AM2+MC2）

如图，已知AM是△ABC的BC边上的中线，证明：AB2+AC2=2（AM2+MC2）．

Answer 1

解：过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²①，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²②，
由①+②得：AB²+AC²=2AD²+BD²+CD²，
在Rt△ADM中，AD²=AM²-DM²，
则AB²+AC²=2AM²-2DM²+BD²+CD²，
∵AM是△ABC的BC边上的中线，
∴BM=MC，
∴BD²=（BM+DM）²=（MC+DM）²=MC²+2MC?DM+DM²，
CD²=（MC-DM）²=MC²-2MC?DM+DM²，
∴AB²+AC²=2AM²-2DM²+MC²+2MC?DM+DM²+MC²-2MC?DM+DM²，
∴AB²+AC²=2AM²+2MC²=2（AM²+MC²）．