Question

已知函数f（x）=|x2-k-1|-kx．（1）若k=1，求方程f（x）=0的解；（2）若k＞0，不等式f（x）≤0的解集为A

已知函数f（x）=|x2-k-1|-kx．（1）若k=1，求方程f（x）=0的解；（2）若k＞0，不等式f（x）≤0的解集为A，①求集合A；②若集合B={x|（x-1）（x-2）（x-3k）≥0}，A?B，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）若k=1，函数f（x）=|x²-k-1|-kx=|x²-2|-x．
当 x² ≥2时，f（x）=x²-2-x，由f（x）=0 解得 x=-1 或 x=2（舍去）．
当 x² ＜2时，f（x）=2-x² -x，f（x）=0 解得 x=-2（舍去）或x=1．
综上，x=-1 或x=1．
（2）若k＞0，不等式f（x）≤0，即|x²-k-1|≤kx．
①由|x²-k-1|=kx，解得 x=1 或 x=k+1，结合图象可得 方程|x²-k-1|=kx 的解为x=1 和 x=k+1，
故不等式f（x）≤0的解集 A={x|1≤x≤k+1}．

②若集合B={x|（x-1）（x-2）（x-3k）≥0}，A={x|1≤x≤k+1}
当 0＜3k＜1时，B={x|1≥x≥3k 或 x≥2}，由A?B 可得 k不存在．
当3k=1时，B={x|x≥2}，A?B不可能．
当2＞3k＞1时，B={x|3k≥x≥1 或 x≥2}，由A?B 可得k+1≤3k，k≥

1

2

，从而可得

2

3

＞k≥

1

2

．
当3k=2时，B={x|x≥1}，A?B 恒成立，故 k=

2

3

满足条件．
当3k＞2时，B={x|x≥3k 或1≤x≤2}，由A?B 可得k+1≤2，k≤1，从而可得1≥k＞

2

3

．
综上可得 1≥k≥

1

2

，故实数k的取值范围为[

1

2

，1]．