Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正实数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正实数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．（1）求a的值；（2）对于函数F（x）及其定义域D，若存在x0∈D，使F（x0）=x0成立，则称x0为F（x）的不动点．若f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，求实数b的取值范围；（3）若n为正整数，证明：10f(n)?(45)g(n)＜4．（参考数据：lg3=0.3010，(45)9＝0.1342，(45)16＝0.0281，(45)25＝0.0038）

Answer 1

（1）解：∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，∴f（0）=g（0），即|a|=1．
又a＞0，∴a=1．                      …（2分）
（2）解：由（1）知，f(x)+g(x)+b＝

x2+3x+bx≥1 x2+x+2+bx＜1

．
当x≥1时，若f（x）+g（x）+b存在不动点，则有x²+3x+b=x，即b=-x²-2x=-（x+1）²+1．                   …（3分）
∵x≥1，∴-（x+1）²+1≤-3，此时b≤-3．       …（4分）
当x＜1时，若f（x）+g（x）+b存在不动点，则有x²+x+2+b=x，即b=-x²-2…（5分）
∵x＜1，∴-x²-2≤-2，此时b≤-2．            …（6分）
故要使得f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，则实数b的取值范围应为（-∞，-2]．  …（7分）
（3）证明：设G(n)＝10f(n )?(

4

5

)g( n )．
因为n为正整数，
∴G(n)＝10n?1?(

4

5

) n2+2n+1＞0．                    …（8分）
∴

G(n+1)

G(n)

＝

10n?( 4 5 ) (n+1)2+2(n+1)+1

10n?1?( 4 5 ) n2+2n+1

＝10×(

4

5

) 2n+3．     …（9分）
当

G(n+1)

G(n)

＜1时，10×(

4

5

) 2n+3＜1，即(2n+3)lg(

4

5

)＜?1，亦即2n+3＞

?1

3lg2?1

，∴n＞

1

2?6lg2

?

3

2

≈3.7．                        …（11分）
由于n为正整数，因此当1≤n≤3时，G（n）单调递增；当n≥4时，G（