Question

高一数学向量几何题

已知△ABC的面积为S，已知AB·BC=2。（AB、BC为向量）
若S=3/4|AB|，求|AC|的最小值。
然后答案是（根号41）/2
就是不知道过程呃。

Answer 1

设:|AB|=c, |BC|=a, |AC|=b
AB·BC=2,。（AB、BC为向量）
而AB·BC=-BA·BC=-ca*cos∠ABC，所以
accos∠ABC=-2，a*cos∠ABC=-2/c ①
由于 S=(1/2)ca*sin∠ABC=3/4|AB|=(3/4)c，则
a*sin∠ABC=3/2 ②
由①和②得:a²=9/4+4/c²,根据余弦定理
|AC|²=b²=c²+a²-2ca*cos∠ABC=c²+9/4+4/c²+2*2=c²+4/c²+9/4+4
由均值定理得,c²+4/c²≥4,所以|AC|²=c²+4/c²+9/4+4≥41/4
故|AC|的最小值=√41/2

Answer 2

设:|AB|=c, |BC|=a, |AC|=b
AB*AC=ca*cosB=2===>a*cosB=2/c……(1)
1/2ca*sinB=3/4c===>a*sinB=3/2……(2)
(1)²+(2)²:a²=9/4+4/c²
∴|AC|²=b²=c²+a²-2ca*cosB=c²+9/4+4/c²-2*2=c²+4/c²+9/4-4
∵(c-2/c)²≥0, ∴c²+4/c²≥4
∴b²有最小值4+9/4-4=9/4
∴|AC|的最小值=3/2

Answer 3

设a=BC;b=AC;c=AB；三角形三个顶角A，B,C
由AB*BC=2,S=3/4|AB|得：
a*c*cosB=2;
a*c*sinB=3/2;
所以tanB=3/4;
cosB=4/5=(a*a+c*c-b*b)/(2*a*c)
b^2=a^2+c^2-4>=2*a*c-4
a*c=2/cosB=5/2;
b^2>=2*5/2-4=1;
|AC|>=1;

Answer 4

AB·BC=2。（AB、BC为向量）
所以AB和BC是钝角，设他的补角为w
AB·BC·COSW=2

AC^2=AB^2+BC^2-2AB·BC·COS∠ABC
AC^2=AB^2+BC^2+2AB·BC·COSW
AC^2=16/9S^2+9/(4s^2cos^2w)+4
根据公式
AC^2≥32S^2/9
AC≥4√2S/3

不知道错了没，运算可能有点问题（囧）