Question

求解一道数学题，最好给下过程我好理解，谢谢了！

已知函数f(x)=log以a为底，(a^x-1)的对数,(a＞0且a≠1），
（1）.求f(x)的定义域
（2）.讨论函数f(x)的增减性

Answer 1

1、根据题意 有a^x-1≠0 ,即a^x≠1
所以有x≠0
所以函数的定义域为{x|x≠0,x∈R}
2、令g(x)=a^x-1 ,
当0<a<1时，g(x）在定义域上为减函数，函数logax为减函数
所以f(x)此时在（-∞，0），（0，+∞）为增函数
当a>1时，g(x)在定义域上为增函数，函数logax为增函数
所以f(x)此时在（-∞，0），（0，+∞）为增函数
综上，f(x)在（-∞，0），（0，+∞）单调增

Answer 2

a^x-1>0
a^x>1
当0<a<1时
x>0
故定义域为x∈(0,+∞)
又因此时y=loga(x)为减函数
y=a^x-1为减函数
故复合函数f(x)=loga(a^x-1)
在全域单增
当a>1时
x<0
故定义域为x∈(-∞,0)
此时y=loga(x)为增函数
y=a^x-1也是增函数
故复合函数f(x)=loga(a^x-1)
在全域单增