Question

高一函数题

已知向量a,b,|a|=2,|b|不为0。且关于x的函数f(x)=1/3x^3+1/2|a|x^2+a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为_____.
PS:没学导数，也不想用导数做。

Answer 1

对f(x)求导数得到:
f'=x^2+|a|x+ab
关于x的函数f(x)=1/3x^3+1/2|a|x^2+a·bx在R上有极值
f'在R上有两不同实根
所以Δ=|a|^2-4ab>0
所以|a|^2-4|a||b|cos<a,b> >0
cos<a,b><|a|/4|b|=1/2|b|

所以arccos(1/2|b|)< ∠<a,b> <π

Answer 2

判断函数有没有极值，先看看函数的导数有没有为0的，f（x）的导数为x^2+|a|x+a.b=0,2次方程必须有两个不同的解，原方程才可能有极值。所以导函数判断两个不同根的方法为：a^2-4ac>0,及|a|^2-4ab>0,|a|>4ab,|a|/4ab>1,1/ab>1，所以1>a*b>0,a*b=|a||b|cos@,所以。1>|a||b|cos@>0,所以cos@值必须为正的，所以@角应该在一、四象限。所以a与b的夹角范围为0-90度。