Question

对于函数f(x)=log1/2(ax^2-2x+4)(a属于R),若f(x)在(负无穷,3>上为增函数,求a的取值范围.

log1/2(ax^2-2x+4),1/2为对数的底,
(负无穷,3>,>表示中括号.

Answer 1

根据题意分析如下：
1.g(x)=ax^2-2x+4 开口向上，且在[-∞，3]区间大于0；
2.由于log(1/2)x为减函数（底数小于1），所以g(x)在[-∞，3]区间也是减函数；
3.g(x)在[-∞，3]区间不等于0；

下面来解：
①g(x)在实数域恒大于0
△=b^2-4ac=4-16a≤0
解得a≥1/4
且3≤-b/2a=1/a
解得a≤1/3(因为a>0)
所以1/4≤a≤1/3
②g(x)与x轴有两个交点，g(3)≥0
△>0，解得a<1/4
将x=3代入g(x)>0得9a-6+4>0
解得a>2/9
所以2/9<a<1/4

综上，a的取值范围为（2/9,1/3]

Answer 2

令M=ax^2-2x+4,
f(x)=log1/2(ax^2-2x+4)
=p(M)=log1/2M,
p(M)在M∈(0,+∞)上单调递减,
f(x)在x∈(-∞,3]上单增,
说明ax^2-2x+4在x∈(-∞,3]上单减且ax^2-2x+4>0,
这样,

若a=0,
-2x+4在x∈(-∞,3]上单减但ax^2-2x+4>0不能恒成立,
因此a=0不合题意,

若a≠0,由x∈(-∞,3]时ax^2-2x+4>0,说明二次函数开口向上,
有a>0,
由x≤3时单减,有对称轴x=1/a≥3,
0<a≤1/3,
为使x∈(-∞,3]时ax^2-2x+4>0恒成立,
只需x=3时ax^2-2x+4>0成立,
即9a-6+4>0,
a>2/9,

综上,2/9<a≤1/3