Question

在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，S是三角形ABC的面积，以知S=a^2-(b-c)^2,求tanA

在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，S是三角形ABC的面积，以知S=a^2-(b-c)^2,求tanA的值
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Answer 1

由三角形面积公式：
S=1/2*bcsinA，所以 a^2-(b-c)^2=1/2*bcsinA (1)
由余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bccosA，所以由(1)式
a^2-(b-c)^2
=(b^2+c^2-2bccosA)-(b-c)^2
=2bc-2bccosA
=1/2*bcsinA
约去bc得到 2-2cosA=1/2sinA (2)
由倍角公式：2-2cosA=4(sin A/2)^2，sinA=2sin(A/2)cos(A/2).
所以 4(sin A/2)^2=sin(A/2)cos(A/2)，再约去 sin(A/2) 得到
4sin(A/2)=cos(A/2)，因此 tan(A/2)=1/4.
因此由倍角公式：
tanA
=2tan(A/2)/[1-(tan A/2)^2]
=2*(1/4)/[1-(1/4)^2]
=8/15
即 tanA=8/15.