Question

求数学大神

求数学大神求通解或者特解

Answer 1

求微分方程 dy/dx+y/x=(sinx)/x满足初始条件y(0)=0的特解
解：先求齐次方程 dy/dx+y/x=0的通解:
分离变量得 dy/y=-dx/x；积分之得：lny=-lnx+lnc₁=ln(c₁/x)；
故齐次方程的通解为：y=c₁/x；将c₁换成x的函数u，得y=u/x.........①
对①求导得：y'=(xu'-u)/x²........②；将①和②代入原式得：(xu'-u)/x²+(u/x²)=(sinx)/x;
化简得：u'/x=(sinx)/x，即有u'=sinx；即du=sinxdx，故u=-cosx+c；代入①式即得
原方程的通解为：y=(c-cosx)/x；
【原题给的初始条件不合适，因为此函数的定义域为x≠0，所以满足所给条件的特解
不存在。】