Question

数学题，帮帮忙，拜托了!!!!!!!!!!

已知函数f（x）=log3 （mx^2+8x+n)/(x^2+1) 的定义域为R，值域为【0,2】，求m，n的值
1楼：为什么t^2-(m+n)t+(mn-16)=0的二根是1、9，[1,9]不是t的值域吗

Answer 1

已知函数f(x)=log_3_[(mx^2+8x+n)/(x^2+1)]的定义域为R
因为x^2+1>0,所以mx^2+8x+n>0恒成立，
故△<0--->64-4mn<0--->mn>16.
值域为[0,2],在对数的底数3>1的情况下，有真数t
的值域是[1,9]=[3^0,3^2]
此时t=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)
--->(t-m)x^2-8x+(t-n)=0中，△>=0成立,并且有解[1,9].
--->64-4(t-m)(t-n)>=0
--->t^2-(m+n)t+(mn-16)=0的二根是1、9.
所以，m+n=1+9,mn-16=1*9
--->m+n=10,mn=25
解方程组得m=5,n=5.

或者：
已知函数f(x)=log_3_[(mx^2+8x+n)/(x^2+1)]的定义域为R 因为x^2+1>0,所以mx^2+8x+n>0恒成立，故△<0--->64-4mn<0--->mn>16. 值域为[0,2],在对数的底数3>1的情况下，有真数t 的值域是[1,9]=[3^0,3^2] 此时t=(mx^2+8x+n)/(x^2+1) --->(t-m)x^2-8x+(t-n)=0中，△>=0成立,并且有解[1,9]. --->64-4(t-m)(t-n)>=0 --->t^2-(m+n)t+(mn-16)=0的二根是1、9. 所以，m+n=1+9,mn-16=1*9 --->m+n=10,mn=25 解方程组得m=5,n=5.

或者：
因为f(x）的值域为〔0，2〕，
所以1<(mx^2+8x+n)/(x^2+1)<9
定义F(x)=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)
则F'(x)=[(mx^2+8x+n)'(x^2+1)-(mx^2+8x+n)(x^2+1)']/(x^2+1)^2
=[(2mx+8)(x^2+1)-2x(mx^2+8x+n)]/(x^2+1)^2
=(2mx^3+8x^2+2mx+8-2mx^3-16x^2-2nx)/(x^2+1)^2
=2[(-4)x^2+(m-n)x+4]/(x^2+1)^2
当F'(x)>=0时4x^2-(m-n)x-4<=0
当F'(x)<=0时4x^2-(m-n)x-4>=0
所以F(x)在[m-n-√(m-n)^2-64]/8<=x<=[m-n+√(m-n)^2-64]/8上递增
在x<=[m-n-√(m-n)^2-64]/8或x>=[m-n+√(m-n)^2-64]/8上递减

由于F(x)在x→∞时是∞/∞
所以用洛彼达法则：
lim x→∞(mx^2+8x+n)/(x^2+1)=lim x→∞(mx^2+8x+n)'/(x^2+1)'=lim x→∞(2mx+8)/2x=m
所以F(x)的最大最小值为两个极值点：
极小值点x=[m-n-√(m-n)^2-64]/8
极大值点x=[m-n+√(m-n)^2-64]/8
设（m-n）=a
则F(a-√a^2-64/8)=1
F(a+√a^2-64/8)=9
最后两个太烦，自己解