Question

数学几何题（初一）

已知：在△ABC中，AD为中线，求证：AD＜1/2（AB+AC)
｛“1/2”是二分之一｝
没图，要求详细准确的证明过程！急啊！!!

Answer 1

证明：如图，延长AD到E，使DE=AD

∴AE=2AD

∵AD是△ABC中线

∴BD=CD=1/2BC

又∵∠ADB=∠CDE

∴ΔADB≌ΔEDC(SAS)

∴AB=CE

∵AE＜CE+AC

即2AD＜AB+AC

∴AD＜1/2(AB+AC)

Answer 2

倍长中线至E，连接B，因为AB+AE>2AD所以AD<1/2(AB+AC)

Answer 3

延长AD至点E,使AD=DE,连接BE
在△ADC与△BDE中
BD=DC ∠ADC=∠BDE AD=DE
∴△ADC≌△BDE
∴AC=BE
在三角形ABE中根据三角形三边关系可知
AE＜AB+AC
AD=1/2AE
∴AD＜1/2（AB+AC)

Answer 4

如图

Answer 5

延长AD至点E使得AE=2AD，连接BE
由三角形两边之和大于第三边得出AB+BE>AE即AB+BE>2AD
所以1/2(AB+BE)>AD
由中线得BD=CD,添辅助线所得AD=DE,角ADC=角BDE，
所以三角形ADC与三角形BDE全等，
所以AC=BE
SO AD<1/2(AB+AC)

Answer 6

证明： 将AD延长至E点，使AD=DE。再连结BE、CE。 

      因为 AD=DE且BD=CD，则ABCE为平行四边形。

      所以 AB=CE

  

      又因为 在三角形ACE中，AC+CE > AE （两边之和大于第三边）

     

      即 AC+AB > 2AD 

      也即AD＜1/2（AB+AC)

      证毕