Question

幂级数∑[(x-a)^n]/n在x=-2处条件收敛，为什么可以得到它的收敛半径等于1？

幂级数∑[(x-a)^n]/n在x=-2处条件收敛，为什么可以得到它的收敛半径等于1？

Answer 1

该级数不管在何处条件收敛，它的收敛半径都等于1。

该级数的收敛半径只和 |{[1/(n+1)]/(1/n)}| 的极限有关，而与其在何处条件收敛无关。这个收敛半径跟x在哪点处敛散都无关。取决于外面那个1/n，只要是与(x-a)^n是乘积关系就有影响。而这里的a与x-a是加减关系，对半径没有影响。

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f（x）在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0，存在c>0，对任意x1，x2满足0<|x1-x0|<c，0<|x2-x0|<c，有|f（x1）-f（x2）|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1（x），u2（x），u3（x）……至un（x）。……则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+……+un（x）+……⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

Answer 2

如图所示：

追答

第一张图片把你的疑问解出来了，这个收敛半径跟x在哪点处敛散都无关。取决于外面那个1/n，只要是与(x-a)^n是乘积关系就有影响。而这里的a与x-a是加减关系，对半径没有影响。

第二张图片分析了a的情况

Answer 3

该级数不管在何处条件收敛，它的收敛半径都等于1。
兼回答一位评论者的质疑：该级数的收敛半径只和 |{[1/(n+1)]/(1/n)}| 的极限有关，而与其在何处条件收敛无关。

Answer 4

在n趋于无穷时（n+1）/n极限为1啊

Answer 5

详情如图所示

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