Question

如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD=CD,点E是边AC的中点,连结DE,DE的延长线与边BC相交于点F，AG//BC……

Answer 1

（1）证明：因为
AD=CD，点E是AC的中点，
所以
DE垂趋于
AC，
因为
角BAC=90度，
所以
DF//AB，
因为
DF//AB，E是AC的中点，
所以
点F是BC的中点，
又因为
角BAC=90度，直角形ABC是直角三角形，
所以
AF=BF。
（2）如果AB=AC，那么四边形AFCGJ是正方形。
理由如下：
因为
DF//AB，AG//BC，
所以
AG=BF，
因为
F是BC的中点，
所以
FC=BF=AG，
所以
四边形AFCG是平行四边形，
因为
AF=BF=FC，
所以
平行四边形AFCG是菱形，
又因为
AB=AC，F是BC的中点，
所以
AF垂直于BC，角AFC是直角，
所以
菱形AFCG是正方形

Answer 2

解答：
证明：（1）∵ad=cd，点e是边ac的中点，
∴de⊥ac．
即得de是线段ac的垂直平分线．
∴af=cf．
∴∠fac=∠acb．
在rt△abc中，由∠bac=90°，
得∠b+∠acb=90°，∠fac+∠baf=90°．
∴∠b=∠baf．
∴af=bf．
（2）∵ag∥cf，∴∠age=∠cfe．
又∵点e是边ac的中点，∴ae=ce．
在△aeg和△cef中，
∠age=∠cfe
∠aeg=∠cef
ae=ce
△aeg≌△cef（aas）．
∴ag=cf．
又∵ag∥cf，∴四边形afcg是平行四边形．
∵af=cf，∴四边形afcg是菱形．
在rt△abc中，由af=cf，af=bf，得bf=cf．
即得点f是边bc的中点．
又∵ab=ac，∴af⊥bc．即得∠afc=90°．
∴四边形afcg是正方形．