Question

已知：a,b,c都是小于1的正数，求证：（1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于1/4

Answer 1

设a,b,c都是小于1的正数,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于1/4.
证明
反证法
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)都大于1/4
，那么有
(1-a)b*(1-b)c*(1-c)a>(1/4)^3
，
即√[(1-a)b*(1-b)c*(1-c)a]>(1/2)^3.
(a)
而据均值不等式
1=1-a+a>=2√[a(1-a)];
1=1-b+b>=2√[b(1-b)];
1=1-c+c>=2√[b(1-b)].
上述三式相乘得:
1>=8√[(1-a)b*(1-b)c*(1-c)a]
即(1/2)^3>=8√[(1-a)b*(1-b)c*(1-c)a]
(b)
(a)与(b)矛盾，故假设不成立。从而命题获证。

Answer 2

若（1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都>1/4
则（1-a)b*(1-b)c*（1-c)a>(1/4)^3
但根据均值不等式，a(1-a)<=[(a+1-a)/2]^2=1/4；b(1-b)<=1/4;c(1-c)<=1/4;这三个正数相乘得（1-a)b*(1-b)c*（1-c)a<=(1/4)^3,矛盾！

Answer 3

假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于25％
因为0
1/2,
√((1-b)c)>1/2,
√((1-c)a)>1/2
即√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2(*)
又因为√((1-a)b)小于等于(1-a+b)/2,
√((1-b)c)小于等于(1-b+c)/2,
√((1-c)a)小于等于(1-c+a)/2,
所以√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)小于等于3/2,
这与√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2
矛盾,
假设不成立,故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于25％
√——根号