Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，左、右顶点分别是A、C...

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，左、右顶点分别是A、C，上顶点为B，记△FBC外接圆为圆P． （Ⅰ）判断直线AB和圆P能否相切？并说明理由； （Ⅱ）若椭圆短轴长为23，且椭圆上的点到F点最近距离为1，M、N是该椭圆上满足|OM|2+|ON|2=7的两点，求证：|kOM•kON|是定值，并求出此定值； （Ⅲ）是根据（Ⅱ）的求解过程和结果，将命题进行推广，得到一个关于椭圆的一般性结论（无需证明）．

Answer 1

（Ⅰ）解：由题意FC、BC的中垂直线方程公别为x=a-c2，y-b2=ab(x-a2)，
∴圆心坐标为（a-c2，b2-ac2b），
假设直线AB能与圆P相切，则kAB•kPB=-1，
∵kAB=ba，kPB=b-b2+ac2b0-a-c2=b2+acb(c-a)，
∴kAB•kPB=b2+aca(c-a)=-1，
∴a2-c2+ac=a2-ac，
∴c2=2ac，又c＞0，∴c=2a，
这与0＜c＜a矛盾，
∴线AB和圆P不能相切．
（Ⅱ）证明：由a-c=1，2b=23，得a=2，b=3，
∴椭圆方程为x24+y23=1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），由M，N在椭圆x24+y23=1上，
得x124+y123=1，x224+y223=1，
又|OM|2+|ON|2=7，∴x12+y12+x22+y22=7，
即x12+3(1-14x12)+x22+3(1-14x22)=7，即x12+x22=4，
∵|kOM•kON|=|y1y2x1x2|=y12y22x12x22=34(4-x12)•34(4-x22)x12x22
=3416-4(x12+x22)+x12x22x12x22=34，
∴|kOM•kON|是定值34．
（Ⅲ）解：一般性结论：已知椭圆x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0），
M，N是该椭圆上满足|OM|2+|ON|2=a2+b2的两点，
则|kOM•kON|=b2a2（定值）．