Question

设函数f(x)=(1/2）^x，数列{an}满足a1=f(0),f(an+1)=1/f(-2-an)(n∈N+)拜托各位了 3Q

1.求an的表达式 2.令bn=(1/2)^an,Sn=b1+b2+…+bn,Tn=1/a1a2+1/a2a3+…+1/an×an+1，使比较Sn与4/3Tn的大小，并加以证明

Answer 1

解:(1)a1=f(0)=(1/2)^1=1
∵f(an+1)=1/f(-2-an)
∴1/2^an+1=(1/2)^(-2-an)=1/2^(2+an)
∴2^an+1=2^(2+an)
∴an+1=2+an
∴数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴an=1+2(n-1)=2n-1
(2).bn=1/2^an=1/2^(2n-1)
∴数列{bn}是以1/2首项,1/4为公比的等比数列,∴bn=1/2^(2n-1)
∴Sn=1/2*(1-1/4^n)/(1-1/4)
=2/3*(1-1/4^n)
Tn=1/1×3+1/3×5+…+1/an×an+1
=1/2*(1-1/3+1/3+1/5+……+1/an-1/an+1)
=1/2*(1-1/an+1)
=n
又∵Sn
=2/3*(1-1/4^n)
4/3Tn=4n/3
Sn-Tn=2/3(1-1/4^n-2n)
∵(1-1/4^n-2n)＜0
∴Sn-Tn＜0
所以Sn＜Tn
麻烦采纳，谢谢!