Question

初三几何题解

在△ABC中，AB=AC=5,P为BC上任意一点，求证：AP平方+PB×PC=25

Answer 1

作AD⊥BC交BC于D，
AB²=BD²+AD²（1）
AP²=PD²+AD²（2）
（1）-（2）得：
AB²-AP²=BD²-PD²，
∴AB²-AP²=（BD+PD）（BD-PD），
∵AB=AC，∴D是BC中点，
∴BD+PD=PC，BD-PD=PB，
∴AB²-AP²=PB·PC
∴AP平方+PB×PC=AB²=5²=25

Answer 2

作AD垂直BC交BC于D

AP^2 + PB * PC

= AD^2 + DP^2 + (BD-DP)(CD+DP)

= AD^2 + DP^2 + (BD-DP)(BD+DP)

= AD^2 + DP^2 + BD^2 - DP^2

= AB^2

= 25

Answer 3

作∠DBP＝∠PAC，交AP的延长线于点D，且D、A在BC的两侧
∴△BPD∽△APC
∴∠D＝∠C，PB/PA＝PD/PC
∴PB·PC＝PA·PD＝PA·(AD－PA)＝PA·AD－PA^2
∴PA^2＋PB·PC＝PA·PD
∵∠ABC＝∠C
∴∠D＝∠ABP
∴△ABP∽△ADB
∴AB/AD＝PA/AB
∴AB^2＝PA·PD
∴PA^2＋PB·PC＝AB^2＝25