Question

等价无穷小替换时需要同时替换分子分母吗，还是可以只替换一方？

Answer 1

连乘的可以直接等价无穷小替换，所以分母可以；而加减的不可以直接替换，因此分子不可以。加减项中如果每一项都是无穷小，各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0，则是可以替换的。用泰勒公式求极限就是基于这种思想。

例子：求当x→0时，(tanx-sinx)/(x^3)的极限。用洛必塔法则容易求得这个极限为1/2。当x→0时，tanx～x，sinx～x，若用它们代换，结果等于0，显然错了，这是因为x-x=0的缘故。

介绍

等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。