三角变换公式是什么?

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2022-01-26 · 分享休闲中的点点滴滴!
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三角恒等变换公式如下:

1、二倍角公式:

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

2、三倍角公式:

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

3、半角公式:

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

4、万能公式:

半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

5、积化和差公式:

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

6、和差化积公式:

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

证明方法:

首先,在三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角,则在三角形ABC中,过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA(做另两边的垂线,同理)可证明正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC。

于是有:AD+BD=c AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理,可得sinC=sin(180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下,可证明正弦和的公式。利用正弦和余弦的定义及周期性,可证明该公式对任意角成立。于是有 cos(A+B)=sin(90-A-B)=sin(90-A)cos(-B)+cos(90-A)sin(-B)=cosAcosB-sinAsinB。

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