Question

数学问题，来看看^_^

已知圆 x平方+y平方=25，定点C（3，0）。A、B为圆上的两个动点，且满足角ACB=90°，求弦AB的中点M的轨迹方程。

Answer 1

设A坐标为（x1,y1）,B坐标为(x2,y2)，
则M的坐标为(x1+x2)/2, (y1+y2)/2。
A，B在圆上，且ACB为直角，因此：(用^2表示平方）
x1^2 + y1^2 = 25
x2^2 + y2^2 = 25
(x1-3)^2 + y1^2 + (x2-3)^2 + y2^2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2
=> -6(x1+x2) + 18 = -2x1x2 - 2y1y2
=> 6(x1+x2) - 18 = 2x1x2+2y1y2 (左边加50，右边加x1^2+x2^2+y1^2+y2^2)
=> 6(x1+x2) + 32 = (x1+x2)^2 + (y1+y2)^2
=> (x1+x2 - 3)^2 + (y1+y2)^2 = 41
=> ((x1+x2)/2 - 3/2)^2 + ((y1+y2)/2)^2 = 41/4
所以M的轨迹方程：
(x-3/2)^2 + y^2 = 41/4