Question

三角形内角和如何发现和证明？

Answer 1

【前言】

三角形内角和是人教版四年级下册非常重要的一个课题，孩子们在学习了角的度量和角的性质以及按角的大小分类以后，就会学习三角形内角和。那么，三角形内角和是多少？怎样证明？有很多孩子听说过是180°，就像我们大人也都知道一样。但是，大多数孩子知其然不知其所以然。那么，我们就来说一说三角形内角和如何发现和证明。

【课堂设计】

一、引入

三角形内角和的引入有很多种方式：

比如：“你能画一个三个角加起来尽可能大的三角形吗？”

当孩子遭遇这样的问题时，就会思考，怎样才能画出内角和最大的三角形？画过几个之后就会猜测到：三角形的内角和可能一样大！

或者，这样引入：出示两个不一样的三角形，进行比较

二、证明

三角形的内角和是多少？你如何证明？当孩子遭遇这样的问题时，首先能想到的当然是测量！因为他们已经学过了测量，那就动手测量吧。很多组实验数据表明，测量的结果在180°±1°~2°之间，但我们仍然不能定性它是多少。于是，我们就进一步寻找方法，有的孩子会想到撕——拼，把三个角都撕下来，拼在一起，发现这三个角形成了一个平角，好像能说明三角形的内角和就是180°，但这仍然不是严明的数学逻辑推理，只能叫做实践验证。但这些方法孩子们都需要经历！像数学家当初尝试证明一样，去穿越这一个个过程。

那么，我们如何进行数学式证明呢？孩子将会在这里遭遇困难。

在这里，老师需要引导：

方法一：帕斯卡证明

（老师准备一个完整的长方形和同样大小的长方形沿对角线剪开成两个三角形），让学生进行观察和推理。

一个长方形的内角和是4×90°=360°，这是不证自明的。那么，将一个长方形沿对角线剪开，就会得到两个一模一样的直角三角形，从而我们可以证明一个直角三角形的内角和是360÷2=180°。

那么，锐角三角形和钝角三角形呢？

在证明了直角三角形内角和的前提下，进一步证明锐角和钝角三角形就要将其化为直角三角形来解决：

（老师帮助性提问：想一想，能不能将锐角和钝角三角形转化成直角三角形？）

将锐角三角形或钝角三角形分成两个直角三角形。我们又知道每个直角三角形的内角和是180°，那么，两个直角三角形的和就是360°。此时，我们又发现，我们计算的角中有两个直角不属于三角形的内角，减去这两个直角的度数，就可以证明三角形内角和是180°了！

到这里，我们就证明了三角形的内角和是180°。

方法二：

前置“同位角、对顶角”证明，当然，这里不需要定义什么叫“同位角”和“对顶角”。

通过延伸三角形的两条边，并把第三条边做一个平移到两条延长边的交点处。依据“角的大小和角的两边长短无关，只和两边的开合度有关，我们就可以直观得出：

∠2=∠5，

∠7=∠1，∠6=∠3

同样，∠1=∠4，得到∠7=∠4。

这样，我们就可以得到∠2+∠3+∠4=180°，从而得出∠5+∠6+∠7=180°。

（但是，这里需要老师一步步的引导，让学生一步步观察，哪些角一样大？为什么？）

【总结】

一个精彩数学概念怎样诞生？不是我们将所有的方法告诉学生，老师只是引导，要让学生创造和经历每一个概念诞生的过程，只有这样，才叫发明数学，创造数学，才叫像数学家一样思考。在南明，我们一只朝向这里，并不断探索，不断努力！